Synopsis söndag, Nov 23 2008 

Matematik and Sanning premavan 10:03 e m

Prema van är sprungen ur behovet att motivera, försvara och underbygga en ickehierarkisk, dynamisk och differentierad förståelse av erfarenheten. Att reducera dikotmiens ställning som kunskapsprincip och bereda plats åt en kontinuerlig och rörlig kunskap; att konstatera det skenbara i förmenta hierarkier, samt blåsa liv i uppdämda, cirkulära, såväl reproducerande som producernade rörelser. Att framhäva mellanläget som något välkommet, nödvändigt och vilsamt; som det enda tillgängliga alternativet för ett allvarligt menat kunskapsökande. Samt att påvisa möjligheten av lokal, avgänsad kunskap och omvänt, att belysa det problematiska i en strävan efter global, hierarkisk kunskap.

Metoden består av en expansion. Man skulle eventuellt kunna beteckna den som en infiltration. Resultaten uppnås genom att demonstrera hur naturligt de begrepp som används för att försvara en hierarkisk och statisk förstelse låter sig expanderas och göras mer inklusiva. Genom att inifrån expandera dessa begrepp och visa hur denna expansion jämställer legitimiteten inom en rik klass av kunskapsprojekt.

Detta försök bottnar alltså i övertygelsen om den hierarkiska och dikotoma förståelsens hopplösa otillräcklighet som universell form för kunskap. Denna kunskapsform har en plats endast inom ett spektrum av alternativa former. Att skildra, eller åtminstone antyda, detta spektrum är syftet med Prema van.

 

Holismen och urelementet lördag, Mar 22 2008 

Matematik and Mängder and Sanning premavan 9:28 e m

Atomismen och den linjära hierarkin är två sammanlänkade strukturer, vilka dominerar tänkandet inom många områden. Att modellera olika fenomen i termer av dessa kan ofta vara högst relevant och konstruktivt. Likväl är deras tillämpbarhet inte total; viss kunskap är oåtkomlig för ett tänkande som låser sig vid dessa strukturer. Det kan dessutom vara så att något som har ett linjärt eller atomärt urprung sakta övergår i något holistiskt. Nedan ska jag studera denna rörelse.

Bland de utpräglat linjärt hierarkiska disciplinerna finns givetvis de konventionellt deduktiva. Deras struktur utgörs av en uppsättning axiom utifrån vilka en teori uppförs. Enligt det konventionella sättet att konstruera denna klass av teorem, antar teorin en tydligt hierarkisk form, inte helt olik den hierarkiska formen hos mängduniversat i standardmodellen till ZF. I detta fall tilldelas varje mängd på ett någorlunda naturligt sätt en plats i det hierarkiska universat utifrån när den uppstår, vid konstruktion med hjälp av potensmängd och union; på samma sätt kan teoremen inordnas i en hierarki utifrån deras första uppträdande under genereringsprocessen. Båda dessa hierkarier är linjära i den meningen att ett elements position i hierarkin grovt sammanfaller med dess faktiska avstånd till hierarkins bas. Vad avstånd innebär i detta sammanhang är förstås långt ifrån självklart, men enligt ”Sanningen och algebran” nedan kan teorier betratktas som rum. På dessa skulle man införa en avståndsfunktion, en diskret metrik, som mäter ett teorems deduktiva avstånd från axiomen enligt t.ex. längden på dess kortaste bevis. Detta skulle naturligt kunna överföras på rum bestående av mängder. I det senare fallet skulle linjäriteten innebära att en mängds index i någon mening är ett mått på dess komplexitet och därmed dess avstånd från tomma mängden (i standardmodellen) och i fallet med en teori innebär det att ett teorem har högt index om det är en avlägsen konsekvens av axiomen. Destu högre upp i hierarkin man rör sig destu längre fjärmar man sig alltså från dess fundament; man rör sig linjärt utåt.

Denna linjärt hierakiska struktur återkommer även inom en mängd områden som inte är strikt deduktiva. Den utgör en här en mall för hur en teori skall konstrueras och hur kunskap och information skall systematiseras för att batraktas som vetenskaplig, seriös, konkret eller pålitlig. Bland de områden där detta ideal, eller åtminstone denna ambition, är explicit formulerad, om än inte fullständigt implementerad, finns t.ex. naturvetenskaperna och i viss mån matematiken. Inom naturvetenskaperna vill man konstruera en karaktäristik av ett antal fundamentala lagbundenheter och fenomen, vars samspel, beskrivet genom en relativt formell deduktiv teori, ger upphov till högre och högre ordningens fenomen. Denna strukturella syn eller ambition återfinns inom såväl de enskilda naturvetenskapliga disciplinerna, som mellan dessa. Man vill alltså även här konstruera sin teori, eller sin vetenskap, från en bas och utåt, där högre ordningens teorem beskriver högre ordnings fenomen eller fakta. Man vill kalibrera sin vetenskap så att deduktivt avstånd sammanfaller med kausualt avstånd. Den matematiska praktiken är inte alltid linjär på detta sätt, men man eftersträvar hela tiden att de resonemang man för skall kunna inordnas i en strikt linjär hierarki, eller översättas till formella bevis.

Att på detta vis organisera och strukturera erfarenheten – ty de ovan nämnda projekten sysslar i slutändan med erfarenheten och inomerfarenhetliga relationer – att försöka inordna erfarenheten i linjärt hierarkiska strukturer är många gånger en högst rimlig ambition. Naturvetenskaperna är ett lysande exempel att stora delar av vår erfarenhet låter sig på ett mycket exakt sätt modelleras av linjära hierarkier; i dessa fall kausala. Dessa strukturer är dessutom atomistiska i dubbel bemärkelse. Dels är de ontologiskt atomistiska. Men de är också atomistiska i axiomatisk bemärkelse, i den meningen att de vilar på övertygelsen att det är vissa fundamentala fakta, som ger upphov till alla högre ordningens fakta. Detta skulle kunna utryckas som att man tror att det bland alla möjliga axiomatiseringar av teorin, finns en som är mest naturlig, nämligen den vars axiom sammanfaller med  fundamentala fakta. Dessa fundamentala fakta är naturlagarna och tillfällig data rörande universums innevarande tillstånd. Man skulle alltså inte tillåta en axiomatisering vars expansion skulle röra sig i motsatt riktning, mot de kausualiteter man vill fånga. Man skulle dessutom invända mot axiomatiseringen av teorin genom alla dess teorem och kanske inte i första hand mot att detta skulle ge upphov till en mängd metodologiska problem, utan främst därför att detta skulle utgöra en alltför inklusiv axiommängd. Man tror helt enkelt på existensen av någon uppsättning urelement och kriteriet för att acceptera en axiomatisering är, att denna uttömmande karaktäriserar dessa och inget annat.

Detta sätt att organisera erfarenheten har dessutom det viktiga företrädet att det på ett naturligt sätt möjliggör kommunikation mellan olika inbördes hierarkiska beskrivningar av olika delar av erfarenheten. Ett system av sådana hierarkier är modulärt. Genom att upprätta, eller avtäcka, en översättning eller isomorfism mellan ett högre ordningens element i en hierarki med en annan hierakris urelemnt har man lyckats skapa en ny hierarki vars urelement består enbart av den undre modulens urelemnt. Mängden av hierakrier är alltså sluten under denna operation. Detta innebär att ett mycket omfattande hierkiskt projekt kan bedrivas som en uppsättning hierarkiska underprojekt vilka sedan sammanlänkas till det slutgiltiga projektet. Återigen tillhandahåller naturvetenskaperna ett exempel. Den fysikaliska hierarkin utgör här fundamentet vilket följs av den kemiska och därpå den biologiska. Man slipper på detta sätt bedriva biologi i termer av fysik, vilket, även om man är övertygad om att detta skulle äga någon slags relevans, vore oöverstigligt komplext och ohanterbart. Denna moduläritet är alltså ett viktigt praktiskt företräde vilket ger hierakiskt strukturerade projekt möjligheten att på ett överskådligt sätt hantera oerhörda mängder av fakta och behärska deras relationer. En differentierad uppsättning underprojekt kan på detta sätt utgöra ett enda projekt.

Erfarenheten sönderfaller grovt i två skikt, utanför och innanför, vilka sammanfaller med de skikt i vilka passivitet respektive aktivitet råder. Innanför betecknar alltså ungefär det som traditionellt kallats för subjektet och utanför betecknar sfären av de traditionella objekten. Även om det verkligen råder ett avstånd och en skillnad mellan dessa skikt är denna uppdelning varken dikotom eller statisk, vilket felaktigt gjorts gällande i den traditionella behandlingen av deras relationer. Den är ickedikotom då det mellan dessa skikt finns ett kontinuum av skikt där aktiviteten respektive passitiviteten båda utövar ett visst inflytande och den är dynamisk emedan dessa skikts geometrier är möjliga att modifiera. Innanför kan sträcka utlöpare in i utanför och ta en större del av erfarenheten i anspråk, men kan även, vilket ibland sker, trängas tillbaka den gräns då det enbart utgör ett plan, en nollmängd. Det omvända är eventuellt också möjligt. (Dessa skikts geometriska dynamik, deras konflikt, kommer att behandlas i en kommande text). I det tillfälligtvis innevarande, äkta utanför (dvs. det område vilket är helt och hållet fritt från aktivitet) besitter aktiviteten ingen som helst jurisdiktion och här finns det således utrymme för en total lagbundenhet, en verklig objektivitet. Innehållet i denna del av erfarenheten är alltså orubbligt, oåtkomligt, obetvingligt etc. Detta förhållande kan förändras endast genom en verklig expansion av det som är innanför. Den relation aktiviteten kan upprätta till denna faktiskt objektiva del av erfarenheten är rent deskriptiv; innanför kan man tolka, modellera och beskriva detta äkta utanför, men aldrig nå det. Och just p.g.a. denna totala oåtkomlighet kan det i fallet med en sådan beskrivning vara relevant att tala om mer eller mindre korrekta beskrivningar, mer eller mindre verklighetsnära. En axiomatsik atomism är här rimlig. Att strukturera denna beskrivning linjärt hierarkiskt kan också vara mer korrekt än andra strukturer, nämligen om objektiviteten är linjärt hierarkisk. Den naturvetenskapliga metoden och modellen, vilka syftar till att isolera och hierarkiskt beskriva detta äkta utanför, har genom sina framgångar visat att en sådan modell är mer träffande än alla andra hitills föreslagna. Detta bygger givetvis på övertygelsen om att en sådan isolation alls är möjlig, på att det så att säga går att rensa erfarenheten från all aktivitet. Även om det inte skulle vara möjligt, vore åtminstone olika grader av aktivitet möjlig, varför samma resultat skulle kunna uppnås.

Men inom de skikt, eller den volym, av erfarenheten där aktiviteten är närvarande är det inte lika självklart vad som menas med verklighetsnära eller korrekt, eftersom erfarenheten här är fundamentalt dynamisk och ständigt stadd i blivande. Det kanske inte är möjligt att bygga en linjär hierakri som rymmer hela denna volym och där uppåt i index betyder uppåt i kausualitet. Här kan andra strukturer äga samma legitimitet som den linjära hierakrien.

Men den linjära hierarkin innehar en hegemonisk ställning även här. Den utgör ett mycket övergripande paradigm. Detta påminner till viss del om regularitetsaxiomets ställning som just axiom i ZF. Det är detta axiom som garanterar att elementrelationen mellan mängder är välgrundad d.v.s. att alla cirkulära mängder utesluts ur mängduniversat. Man kan emellertid konstruera en mängdlära utan detta axiom och till och med tillsammans med dess negation. Även en sådan teori har modeller.

Benägenheten att omfamna regularitetsaxiomet som något intuitivt påminner alltså om benägenheten att modellera varje inslag i erfarenheten som linjärt hierarkisk. Och även denna senare benägenhet är, liksom i fallet med regularitetsaxiomets oavhängighet av övriga ZF, en tendens som handlar om något annat än fundamentala vetenskapliga sanningar, nämligen om psykoligiska och, förefaller det, djupt mänskliga behov. Dessa båda benägeheter är yttringar av behovet att hindra en ständigt flytande rörelse, att garantera en fix punkt, att finna en början; det är kort sagt behovet av att bekämpa cirkulära strukturer. Detta behov, eller denna strävan yttrar sig på ett otal plan och i ett otal gestalter. Det går att urkilja i allt från den enskilda personens behov av att definiera sig själv (ofta som något motsägelsefritt) som i den vetenskapliga metodens reduktionistiska ambition. Den enskilda personen strävar efter att identifiera orubbliga måsten, plikter, med funktionen att upphäva friheten och skänka livet ordning och riktning. Den vetenskapliga metoden strävar efter att kartlägga de fundamentala sanningarna om världen, för att ge vår förståelse av densamma en orubblig, fixerad grund. Alla reduktionistiska projekt syftar till just detta, att fixera en ursprunglig punkt, att bryta cirkulära mönster, att vrida alla implikationspilar i samma riktning. De oändliga försöken att skapa t.ex. hierakiska estetiska teorier är exempel på reduktionistiska projekt, inledda i syfte att förankra det estetiska värdet och bekämpa konstens ständigt flytande, holistiska och inomkonstnärliga natur. Det spontana motståndet mot och svårigheten att acceptera alternativ till det fixa Newtonska rummet är ytterligare en yttring av behovet av det stillstående, det orubbliga. Människor från småstäder flyttar, efter tiden i storstaden, tillbaka till sina småstäder. Återigen framträder här oviljan att erkänna ytterligare ett alternativ. Alternativet uppfattas som en anomali, som en tillfällig störning av den i grunden stabila ordningen, en krusning. Dualismen rör sig och övergår i idealism eller materialism eller i en dunkel tro på en bakomliggande substans.

Men dessa lugna, stabila, orubbliga punkter som man längtar efter står inte alltid att finna.  De delar av erfarenheten som man försöker att stabilisera på detta vis låter sig inte alltid satbiliseras eller rätas ut. Och ibland kan en del av vår erfarenhet vilken från början, i ett tänkt, eventuellt, förflutet var helt fixerad och hierakisk, sakta inleda en rörelse vilken till slut blir så stark att den sliter sina band till sitt urprung. I dessa fall deformeras alltså den ursprunliga linjära hierakien. Men alternativet till en linjär hieraki är inte endast en cirkel utan även en båge eller en ellips. Resultatet av denna röresle behöver alltså inte omedelbart innebära en perfekt cirkulär struktur, utan övergångsfaser är möjliga där de ursprungliga grundpunkterna fortfarande innehar centrala positioner men där deras ställning är rubbad. Ungefär som solens nuvarande roll som centrum och som obetydlig stjärna på i en galax. Jag tror att oerhört många inslag i vår erfarenhet befinner sig just i en sådan övergångsfas och alltså endast kan förstås som försatta i en krökt rörelse. Mellan atomismen, uppförandet av en hierarki på en fixerad grund, och den äkta holismen, övertygelsen om det oriktiga i varje startpunkt, tron på enbart de lika viktade relationerna, cirkeln, mellan dessa ytterligheter finns det alltså utrymme för ett spektrum av sammansatta modeller vilka utgör olika viktade medelvärden av dessa extremer.

Ett kondenserat men möjligtvis aningen trivialt exempel på hur en sådan rörelse inleds och hur ursprungliga relationer förskjuts är läsningen av Thoreau’s ”Skogsliv vid Walden”. Redan titelns preposition sätter sjön, Walden pond, som en fast punkt; handlingen kommer att utspela sig intill denna, mot denna stabila bakgrund. Walden behandlas inledningsvis som något högst konkret, som något objektivt; läsaren får ta del av dess mått, dess geografi och dess historia. Thoreau kommer att tillbringa sin närmaste tid vid en typisk, konkret existerande, amerikansk insjö. Men sakta förändras relationen mellan Walden pond och dess gäst; Thoureau ser i Walden pond en spegelbild av sin egen natur och i förlängningen av människan i allmänhet. Walden pond tilldelas rollen som metafor för den mänskliga naturen. Så långt är allt konventionellt och linjärt. Men denna enkelriktade relation skall snart krökas ytterligare. Via en sekvens av scener kommer Thoreau att få rollen som symbol för Walden. Walden pond definieras av och förklaras genom sin relation till Thoreau. Ett ursprungligen neutralt förhållande har blivit en cirkulär hierakri, en cirkulär metaforik. Denna cirkulära metaforik rymmer sin egen speciella materia vilken uppstår under just denna, högst lokala rotation. Den är därmed omöjlig att kommunicera ut ur denna cirkel (centrifugalkraften är som bekant en fiktiv kraft), den går ej att foga till andra redan befintliga strukturer. Men dess massa kvarstår.

En liknande rörelse går att urskilja bland de estetiska upplevelserna i allmänhet. Som jag nämnt ovan har mycket kraft ägnats åt att försöka finna en uppsättning punkter att resa en estetisk teori utifrån. Man har försökt att hitta faktum eller lagar, vilka skulle kunna skänka den estetiska upplevelsen struktur och dess historia ordning. Som ett led i samma strävan har man sökt det estetiska värdets atomer, dess faktiska ursprung.

Om man här inskränker beskrivningen till detta sökande inom musiken framträder två centrala teman. Man har försökt att förklara, analysera eller reducera rytmens och konsonansens exceptionella ställningar. En klassisk förklaring till rytmens och fundamentala plats och värde i musiken är dess isomorfi med andningen, hjärtfrekvensen eller något annat periodiskt och arketypiskt, vilket man menar ligger särkilt nära människorna. En klassisk analys av konsonansens särställning är dess relation till kvoter av stränglängder. De pytagoreiska konsonansernas matematiska ursprung anses rymma deras musikaliska värde. Analoga analyser av stora musikalska former, såsom sonatformen, har också genomförts. Dessa analyser och reduktioner är typiskt linjärt hierarkiska i sitt uppsåt. Man försöker grundlägga något komplext i något atomärt och ge en riktning åt implikationerna inom en vid klass av upplevelser. Problemet är bara att detta vektorfält är långt ifrån konstant, om ens kontinuerligt. Alla dessa iaktagelser om musikaliska elements realtion till något mer primitivt kan vara korrekta. De skulle till och med eventuellt kunna erbjuda en riktig förklaring av musikhisotriens utveckling fram till en viss punkt. Det kan mycket väl vara så att de bijektioner som man upprättar faktiskt sammanfaller med en verklig kommunikation mellan inslag i erfarenheten, som befinner sig i det äkta utanför (hjärtfrekvensens, beteenden hos svängande strängar) och inslag vilka befinner sig någonstans i det som är innanför (välljud, sväng etc.). Men denna typ av förklaringar kommer aldrig att kunna fånga de musikaliska upplevelserna i sen helhet, oavsett hur många parametrar man inför och hur nyanserat man balanserar dessa mot varandra. Detta beror på att dessa upplevelser i sin helhet inte är isomorfa med förlopp i det äkta utanför. Vid någon punkt i en enskild persons historia och i mänsklighetens historia i stort har ett aktivt inslag tillkommit till den musikaliska erfarenheten och kommit att fullständigt dominera denna. Detta inslag består av inomerfarenhetliga relationer och mer eller mindre aktiva tolkningar. En upplevelse av musik får en betydande del av sitt värde genom dess relation till andra upplevelser av musik och genom varje lyssnares privata läsart. Exemplen på detta är alltför många och alltför uppenbara för att uppräknas. Det musikaliska värdet frigör sig alltså från atomismen och övergår i ett holistiskt system där det är den inomsystematiska relationen som är väsentlig. Den musikaliska upplevelsen utspelar sig i ett skikt av erfarenheten där aktiviteten och tolkningen är närvarande och är förankrad i det äkta utanför endast med ett elastiskt band, med magnetsim.

Här har vi alltså ett tydligt exempel på röreslen bort från atomismen mot holismen. De ursprungliga atomerna kommer alltid att utgöra gravitationscentrum, men de försvagas asymptotiskt mot noll. (Om man vill göra sig en rumslig/mängdteoretisk bild av denna ofrånkomliga kvarvaro kan man ju dra sig till minnes att omega är ett reguljärt kardinaltal och därmed har kofinalitet aleph ett). Den usprungliga linjära hierakien har krökts in mot sig själv. Att försöka förstå våra samtida upplevelser i termer av ett tänkt och högst tveksamt urtillstånd är alltså fullständigt orimligt. Det skulle innebära att på ett nonchalant och flagrant vis förbise en traditions närmast universella närvaro i den erfarenhet som vi som nutida personer har kastats ut i. Vår erfarenhet är mättad på traditionsinslag vilka utgör referenspunkter i alla upplevelser.

Ett tredje exempel på denna typ av krökning är den mänskliga erfarenheten. Det finns, precis som jag erkänt i fallet med de musikaliska atomerna, implikationer som löper utifrån och in; egenskaper hos det äkta utanför kan kommunicera inåt med erfarenheter i andra skikt. Men implikationer löper också i motsatt riktning. Den totala erfarenheten är delvis en produkt av det som är utanför, men det som är utanför är också en produkt av det som är innanför. På detta sätt är dessutom den männskliga erfarenheten ett exempel på något som bör beskrivas i termer av en motsägelse; den är aktiv och passiv. (Se ”Sanningen och algebran”). Samspelet mellan det som är utanför och innanför är med andra ord krökt. Detta krökta förhållande är mycket påtagligt i bl.a. den kognitiva terapins praktik. Här skapas aktivt det som skall internaliseras. Det äkta innanför sträcker sig mot det äkta utanför för att sedan låta sig dikteras i omvänd ordning.

Dessa tre exempel antyder att många vikitga områden av erfarenheten snarare bör modelleras cirkulärt än linjärt hierakriskt. Även områden med ett linjärt ursprung kan komma till en punkt där cikeln är den lämpligaste modellen. Det kan givetvis i dessa fall vara möjligt att vidhålla en linjär modell och anpassa dessa områden till en sådan. Detta vore dock helt analogt med att modellera ett kvadratiskt förlopp linjärt. Man kan alltid minstakvadratanpassa data till en linjär modell, men den totala avvikelsen kan minimeras först genom att välja en högre ordningens modell.

Den linjära hierakiens hegemoni som modell av den mänskliga erfarenheten framstår alltså som illegitim. Denna hegemoni vilar snarare på sociala/psykologiska grunder än verkliga företräden. Jag skall inte fördjupa mig i dessa psykologiska grunders innehåll. Men det står klart att den cirkulära hierakien bör erkännas som jämbördig med den linjärt hierakiska. Det eviga sökandet efter en förment objektiv verklighets bas, efter dess atomer, dess urelement, efter orubbliga punkter utifrån vilka teorier kan kristalliseras, detta sökande bör i många fall överges och ersättas med ett erkännande av teorier vilka saknar denna stabilitet och linjäritet. De krökta, roterande och dynamiska beskrivningarna bör tilldelas rangen av ett högst tillgängligt alternativ.

 

Sanningen och algebran fredag, Jan 25 2008 

Matematik and Sanning premavan 10:12 e m

Följande text är en betraktelse över sanningsprojektet och ett försök att anlägga ett belysande perspektiv på detta. I enlighet med dess innehåll gör jag inte anspråk på att nå några definitiva resultat, utan vill i bästa fall skänka ämnet ytterligare något innehåll. Sanningsprojektet är närmare besläktat med andra, relaterade projekt än man vanligtvis gör gällande. Att krympa detta aktivt vidgade avstånd är avsikten med det följande.

Sanningsbegreppet är inte entydigt avgränsat. Det kan förstås på ett flertal olika sätt och uppfattingarna om dess innebörd och hur sanning ska sökas divergerar. Jag kommer här att anlägga ett logiskt perspektiv på ämnet, vilket kanske kan uppfattas som artificiellt och onaturligt. Men logikens behandling av sanningen är djupt besläktad med de attiyder inför denna som råder inom många andra fält, även om man där inte behandlar sanningen lika formellt. Anledningen till detta är, tror jag, att logikens relativt unga sanningsbegrepp helt enkelt är en yttring av en lång filosofisk tradition och praktik, vilken även har gett upphov till dessa ämnen. Kärnan i denna tradition är inte sanningen utan vad som intar den överordnade ställningen är dikotomien; allting förstås i termer av och hanteras inom ramarna för dikotomier.

Logikens sanningsdefinition ingår som en central del i ett metateoretiskt projekt. Detta projekt syftar till, och är högst framgångsrikt i, att ge en rigorös behandling av centrala begrepp inom en vid klass av discipliner och avtäcker därmed gemensamma drag hos dessa. De discipliner som syftas på är de deduktiva. Men detta metaprojekts definitioner utgör även träffande karaktäristiker av fundamentala och länge använda, men aldrig excplicit definierade begrepp, inom andra, ickeformaliserade ämnen. Talande för detta är den utbredda oförmågan att uppfatta logikens sanningsdefinition som en defintion utan som ett kriterium, och dessutom som ett trivialt sådant. Man betraktar det helt enkelt som en självklarhet att de satser som definieras som sanna sammanfaller med de sanna. Många uppfattar denna sanningsdefinition närmast som cirkulär och det krävs en viss ansträngning för att inse att den rymmer något över huvudet taget. Denna defintion ligger kort sagt mycket nära sanningsbegreppet så som det förstås inom en rad områden och kan alltså vara lämpligt att studera.

Logikens sanningsdefinition är dubbelt dikotom. För det första förstås sanning som en relation mellan en modell och en välformad utsaga. Att detta skulle rymma en bakomliggande dikotomi är långt ifrån uppenbart, men detta utgör i grund och botten bara en formulering av en korrespondensteoretisk ståndpunkt, vilken i sin tur bygger på dikotomien mellan subjekt och objekt. Definitionen är dock betydligt mer flexibel än den naiva korrespondensteroin som bara tänker sig sannningsrealtionen som något som råder mellan sakförhållanden och propositioner och tillåter ett ordentligt mått av frihet i valet av modellens domän. Ett bra exempel på detta är att den medger konstruktionen av Henkin-modeller, vilka ligger ganska fjärran från korrespondensteoriers modeller med domäner av sakförhållanden och vilka brukar bemötas med en hel del skepsis. Man skulle kunna uppfatta det som att Henkin-modeller tangerar en koherensteoretisk sanninngssyn, där sanning är något som tillkommer en utsaga eller proposition genom dess inomspråkliga eller inomsystematiska ställning, men det är ett missförstånd. Henkin-modeller upprätthåller den strikta åtskillnaden mellan språk och modell och ett sanningsvärde tilldelas en utsaga via en tolkningsfunktion vilken i allt väsentligt påminner om tolkningsfunktioner inom andra modeller.

Denna definition är dessutom kompatibel med sanningsbegreppet inom andra icke-formaliserade områden. Inom dessa områden ligger sanningsbegreppet närmare en klassisk korrespondensteori och den eventuella sanning man lyckas finna är en som råder som en relation mellan något skikt av en tänkt omvärld och ett system av tankar; som en relation mellan något objektivt och något subjektivt. Även om man här inte bedriver enbart syntaktisk manipulation kan man erkänna den logiska sanningsdefinitionen som sund och rimlig. Detta vittnar om saningsdefinitionens nära släktskap med och således också om dess bakgrund i en korrespondensteoretisk och subjekt-objekt-orienterad tradition.

För det andra är sanningsdefinitionens sanningsmängd binär; den innehåller enbart sant och falsk. Dessa begrepp utgör här en typisk dikotomi. Varje välformad sats är antingen sann eller falsk och aldrig både sann och falsk. Lagen om det uteslutna tredje är alltså uppfylld här. Visserligen finns det utsagor, formler, som saknar ett fixerat sanningsvärde under en modell, men inte heller dessa kan vara både sanna och falska under en och samma tilldelningsfunktion av deras variabler och varje sådan tilldelning ger dem ett sanningsvärde. Denna sanningsdefinition ger alltså en excplicit formulering av ett begrepp som i allra högsta grad har en naturlig plats i en tradtion som befolkas av dikotomier.

Det metateortiska projekt vilket födde denna sanningsdefinition definierar även andra begrepp, också dessa dikotoma. Ett av dessa är sundhet. Sundhet är en egenskap hos ett system av deduktionsregler, D, vilken innebär att mängden av syntaktiska konsekvenser av en satsmängd A är en delmängd till de semantiska konsekvenserna av A. Man skulle också kunna säga: mängden av syntaktiska konsekvenser av A är ett invariant underrum under operationen deduktion, till mängden av alla semantiska konsekvenser av A. Detta underrum kan vara äkta eller inte beroende bla. på egenskaperna hos D. Även sundhet är alltså ett binärt begrepp (sund respektive icke-sund) vilket relaterar ett system av välformade utsagor till en modell på ett korrespondensteoretiskt vis.

Även inom icke-formaliserade discipliner finns det en motsvarighet till det formella sundhetsbegreppet; återigen är den formella logiska definitionen egentligen endast en formulering av redan förekommande principer. Man ställer kravet på sin verksamhet, att den aldrig skall föra slutledningarna inifrån och ut ur klassen av sanna satser. Det är mot bakgrund av detta krav som olika vetenskapers praxis har utkristalliserat sig.

Dessa två begrepp, sanning och sundhet, är alltså formella dikotoma definitioner som är avsedda att approximera redan befintliga men aldrig definierade begrepp inom en tradition, som i grund och botten kretsar kring dikotomier. Inom denna tradition återfinns dikotomier som subjekt-objekt, rätt-fel, frihet-nödvändighet, död-levande, kaos-lagbundenhet, plus-minus, form-innehåll etc. Man tänker sig här att varje element som ingår i en, eller eventuellt flera överlappande dikotomiers signifikansområde, kan karaktäriseras genom en av dikotomiens poler, men aldrig genom båda. Visserligen nyanserar man ofta karaktäristiken genom att införa ett kontinuerligt mått på i vilken utsträckning ett element besitter en viss egenskap, men man rör sig aldrig över dikotomiens inre gräns utan håller sig inom en av dess hemisfärer. Man uppför på detta vis en (åtminstone skenbart) ytterst högupplöst utblick över världen, vilken är i stånd att formulera nyanserade beskrivningar. Men dessa beskrivningar vilar ändå i grund och botten på dikotmiens mycket grova tudelning av världen. Man förfogar över de reella talens rikedom, men fäller enbart binära omdömen, om än maskerade av kontinuuitet. Man befattar sig inom denna tradition med erfarenheten först efter att ha filtrerat den genom en uppsättning binära distinktioner; enbart det som släpps igenom erkänns som intressant och möjligt att handskas med på ett systematiskt och meningsfullt vis.

Denna tradition är högst levende och åtnjuter dessutom någon slags hegemoni. Dess korrespondensteori och dess metodik, implementeras idag bl.a genom naturvetenskaperna och dessas institutioner, vilkas status som vetenskapliga förebilder förefaller orubblig. Man producerar här resultat på formen av en mätning av i vilken utsträckning eller grad något besitter en egenskap och dessa resultat utgör mallen för hur ett resultat skall se ut. Den verksamhet som inte bedrivs med naturvetenskaperna som metodolgisk förlaga betraktas som ovetenskaplig och anses legitim endast genom sitt tillskott till mångfalden. Den inkarneras dessutom av en stor andel av människorna. Många människor förstår sig själva utifrån dikotomier. Man ser, i strikt enlighet med denna tradition, på sig själv som något slags subjekt utplacerat bland objekten, vilka tillhör en sfär utanför det inomsubjektliga. Dessutom ser man på sig själv som subjekt, antingen som fri eller underkastad lagar; man antingen bejakar eller förnekar sin upplevda frihet. Det är inte ovanligt att man reducerar ner sin subjektivitet till objektivitet; man inordnar sig själv i ett system av lagar, såväl fysikaliska, sociala som juridiska. Det tillgänliga alternativet till detta är tron på subjektets autonomi och oinskränkta frihet.

Men denna traditions dominans är inte självklar och dess hegemoni är eventuellt helt godtycklig. För att belysa detta kan man ansluta sig till logikens projekt och anlägga dess metateoretiska perspektiv.

Det klassiska dikotoma sanningsprojektet antar då följande form:

Man kan betrakta en formell teori eller någon annan, någolrunda avgränsad disciplin som ett rum. I fallet med en formell teori är det entydigt vad som menas med detta; rummet består i detta fall av en mängd syntaktsika strängar, alla välformade utsagor, vilka har konstruerats rekursivt utifrån en grundmängd av syntaktiska atomer. Om någonting tillhör denna mängd eller inte är strikt avgörbart, t.ex genom att generera alla strängar av dess längd, vars indexering inte överskrider det högsta indexet i strängen och sedan undersöka om ens sträng tillhör de genererade. I andra fall är detta rum inte lika klart avgränsat, men det finns inom de flesta områden mer eller mindre rigorösa kriterier för att avgöra om en given utsaga eller ett givet påstående ingår i diskursen eller inte. Olika teorirum kan överlappa varandra, vara disjunkta eller vara inneslutna i ett större rum. En klassisk bild av de naturvetskapliga rummens realtioner, är en uppsättning koncentriska sfärer där fysiken innesluter kemin som innesluter bilogoin. Dessa rum kan vara statiska eller dynamiska, öppna eller slutna. Rummens element kan vara syntaktiska strängar på konstruerade språk, halvformella utsagor eller propostioner, det är egentligen inte väsentligt. Det är att de bildar ett rum, som är det centrala.

Över detta rum finns det sedan en sanningsfördelning. I någon formell bemärkelse är detta inte något annat än en indexering av rummets element; en funktion från rummet in i {0,1} inte helt olik sannolikhetsteorins funktion från utfallsrummet in i [0,1]. Denna sanningsfördelning är nödväntigtvis statisk tillskillnad från rummet, givet en tolkning mellan ett rum och en modell. Denna tolknings funktion är högst påtaglig om rummet är en formell toeri, men kan framstå som överflödig när rummet består av t.ex. propositioner eller tankar, men även i dessa fall är fördelningen fix.

Det vetenskapliga projektet syftar nu till att kartlägga, karaktärisera, exploatera, greppa, överblicka, erövra, dränera eller på annat sätt behärska det underrum till teorirummet vilket bildas av alla element vilka har index 1. Det är bilden av detta underrums geometri och innehåll som är målet med projektet.

Axiomtisering och deduktion, vilka mer eller mindre explicit är centrala delar i alla sanningsprojekt, spelar under denna annektering samma roll som baser och linjärkombinationer gör vid beskrivningen av vissa klassiskt rumsliga geometrier. Man söker ett antal element ur underrummet, geometrin, och en metod för att kombinera dessa, under vilken underrummet är invariant och som genererar hela detta. T.ex. är alla hyperplan (trivialt) invarianta under ovan nämnda linjärkombinationer och genereras under dessa av ett antal basvektorer. I fallet med axiomatisering söker man alltså ett antal sanna satser, dvs sådana med index 1, och ett antal regler för att manipulera och kombinera dessa under vilket underrummet med index 1 är invariant och under vilket det i så stor utsträckning som möjligt uttöms. Man söker helt enkelt sanningsbevarande eller sunda deduktionsregeler. Man söker en metod för att exploatera sanningsdistributionens geometri.

Det klassiska, dikotoma sannigsprojektet låter sig alltså karaktäriseras geomtriskt-algebraiskt.

Men denna karaktärsitik uppdagar ett inslag av godtycke hos detta projekt. Det vore lika rimligt och förenligt med samma stringens, att studera andra indexeringar, andra distributioner över teorirummet, vilka inte är isomorfa med den binära sanningsfördelningen. Godtyckligt stora ändliga, uppräkneligt oändliga eller kontinuerliga fördelningar vore lika rimliga. Dessa skulle ge upphov till betydligt mer komplexa och raffinerade distributioner och andra underrum än det som ges av index 1, skulle vara intressanta. Detta liknar övergången mellan linjära och krökta geometrier. En binär sanningsfördelnig ger upphov till geometrier som liknar trappstegsfunktioner medan en kontinuerlig fördelning kan öppna upp ett oöverskådligt geomtriskt spektrum. Förståelsen av och tillgången till de krökta ytorna är av minst lika stort intresse, eftersom det inte alltid är möjligt att utföra en reduktion till det linjära fallet. Men förståelsen för och kontrollen över ickelinjär geometri kräver en expansion av den tillgängliga algebran; de ickelinjära underrummen är invarianta under andra operationer än linjärkombinationer och måste hanteras på annat sätt. Men strukturen är bevarad. Relationen mellan geometri och algebra är den samma även om allting nu är ickelinjärt.

Om man dessutom upphäver restriktionen att den geometri man utforskar ska vara fixerad, skulle man kunna införa ytterligare en dimension, säg tiden, och låta geometrin vara en funktion av denna, G(t), och samtidigt låta algebran vara en funktion av samma parameter, A(t), sådan att G(t’ ) är invariant under A(t’) för alla t’. Därigenom skulle man kunna hantera dynamiska geometrier på ett sådant sätt att invariansen under A är lokal men inte global. Denna expansion är högst väsentlig, ungefär som övergången från mängd till potensmängd, men utgör egentligen bara ett studium av statisk geometri i ett högre antal dimensioner och utgör alltså ingen radikal förändring av projektet.

Att behandla sannigsprojektet på detta sätt kan framstå som fullständigt onaturligt, men jag skulle vilja påstå att det är konstruerat i denna höga grad. Vad som avses med sanning är oerhört oklart och den disciplin som kommer närmast en klar behandling av sanningen är den formella logiken. Men till och med här flyter allt. Den sanning som man bevarar över sina resonemnag är den sanning som är definierad i sanningsdefinitionen. Det är alltså en rent formell-syntaktisk egenskap man handskas med. Den skulle lika gärna kunna heta 1. Dess realtion till eventuell äkta sanning är inte utredd även om många omfamnar tesen att dessa sammanfaller. Alla sanningsprojekt har detta drag av konstruktion över sig, vilket gör att de kan beskrivas träffande på detta sätt, trots att det kan framstå som artificiellt.

Men om man nu går i andra riktningen,från geomtetri och algebra, till sanning och deduktion inser man att det vore möjligt att bedriva ett ickedikotomt projekt med samma stringens och samma sundhet som i det dikotoma fallet. Under den geomtrisk-aglebraiska tolkningen av sundhet som invarians blir detta helt oproblematiskt, även då man under sitt projekt försöker att utforska hur ickedikotoma egenskaper fördelar sig över ens teorirum. Projektet kan djupt sett ha samma struktur som det dikotoma sanningsprojektet, även om det betraktat ur ett dikotomt perspektivt är värdelöst. Att varje sådant projekt måste utgå från dikotomier blir vid samma övergång kraftigt relativiserat.

En viktig anmärkning är att inom den klass av ickedikotoma projekt som man genom en sådan expansion och revision får tillgång till, är förekomsten av ett teorem på formen ‘A och icke-A’ inte längre liktydigt med kollaps. Den logiska motsägelsen är katastrofal endast genom dess plats i ett binärt system och genom detta systems speciella deduktionsprinciper. Den kan för övrigt oskadliggöras redan inom ramarna för ett sådant system, vilket till exempel sker i Brouwers satslogik.

En naturlig fråga är förstås vilka begrepp som inbegrips i denna utvidgade sfär. Bland dessa finns bland andra estetiska, värderande och psykologiska begrepp vilka inte rubbas av motsägelser. Om man dessutom tillåter ett utökat antal dimensioner och därmed geometriska förlopp, får man tillgång till begrepp med en immanent dynamik och därmed en möjlighet att handskas med t.ex. blivandet.

De klassiska, dikotoma sanningsprojektens hegemoni förefaller alltså i många avseende som godtycklig och orimlig. Enligt det ovanstående kan ett ickedikotomt projekt göra lika legitima anspråk på konsistens och sundhet som konventionella logiska teorier och därmed på vetenskaplighet (om detta nu av någon skulle tillmätas något som helst värde). Ändå verkar det vara omöjligt att avlocka utövarna av det dikotoma projektet något som helst erkännande av det ickdikotoma projektet, som ett projekt med en stringens och rimlighet i paritet med deras egna. Detta måste alltså bero på en krampaktig fixering vid dikotomien, som den enda tänkbara basen för vår förståelse av erfarenheten. Det är detta som omöjliggör förståeelsen för projekt som vill överskrida dikotomins barriärer. Men, återigen enligt det ovanstående, framstår en sådan fixering som godtycklig och närmast patologisk. Det är alltså tydligt att det bakom dikotomiens ställning snarare finns en stark tradition än, så att säga, vetenskaplig legitimitet. Visserligen skulle man kunna anföra denna traditions tyngd och närvaro, som en indikation på just legitimitet, under motiveringen att den har överlavt så länga pga. dess naturlighet eller närhet till människan. Men detta tror jag är ett missförstånd. Denna traditions starka ställning vilar på helt andra grunder än dess faktiska djup eller förankring i det mänskliga psyket. (Se kommande text om holismen och ur-element).

Dikotomin som bas för vår förståelse av erfarenheten krackelerar alltså. Mer komplexa begrepp kan föras upp sida vid sida med de dikomtoma och kan hanteras på liknande sätt. Denna process tillför vår utblick över vår erfarenhet nyanser som inte längre bara handlar om grad, utan om inombegreppsliga kvalitativa sådana; nyanser av en annan art än de som finns inom dikotomier. Dessa nya nyanser, som korsar de dikotoma, borde betraktas som ett ovärderligt tillskott till vår begreppsliga vokabulär.

Jag tror att det är först genom dessa mer nyanserade begrepp, som en förståelse av de faktiska realtionerna mellan skikt i vår erfarenhet, som man tidigare har ansträngt sig för att hantera dikotmt, är möjlig. En av dessa realtioner är den mellan subjekt och objekt. Mer om detta längre fram.

 

Om matematiken, subjektet och världen. torsdag, Jan 10 2008 

Matematik and Subjektet premavan 9:48 e m

Följande är en summarisk redogörelse för min uppfattning om matematikens relation till subjektet och den förmenta omvärlden.

Det tycks mig finnas en utbredd föreställning om att matematiken står i någon slags djup, men gåtfull förbindelse med omvärlden. Vad man avser med matematiken och kanske i ännu större utsträckning vad man avser med omvärlden låter man vara osagt, men man hävdar bestämt att de är intimt relaterade till varandra; omvärlden tänker man sig nog oftast som någon variant av den naiva materialismens sfär av objekt i vilken vi, som varseblivande subjekt är utplacerad och vilken vi kan observera mer eller mindre direkt och utan vidare problem. Matematiken tänker man sig som något huvudsakligen semantiskt, som en aspekt av de mönster och drag som vi möter vid vår kontakt med den objektiva världen. Matematiken förstås som en uppsättning insikter, som en uppsättning obevkliga lagar, som djupa sannigar om en klass av abstrakta entiteter eller relationer som finns närvarnade ute bland objekten och vilka vi genom matematiken lyckas förstå.

De personer som tror på denna djupa, naturliga, eller faktiska relation mellan matematik och en objketiv omvärld tänker sig oftast att vi har extraherat vår kunskap om matematiken ur vår erfarenhet av objektens beteende, att matematiken finns därute och att vi genom att iaktta objektens uppförande kommer till insikt om de matematiska objektens natur. Vår konception om sådana saker som area, triangel, 3, + etc. etc. är inom detta tankesätt abstraktioner ur vår erfarenhet. Alla räknelagar, all aritmetik är bara naturliga generaliseringar av de specialfall som vi har mött i vår erfarenhet, eller ännu värre, obestridliga insikter om generella samband vilka vi har nått genom någon form av epistemologiskt osviklig meditation över vår ändliga erfarenhet varvid vi kommer i kontakt med hur det förhåller sig i det abstrakta eller generella fallet.

Allt detta är bara missförstånd. Relationen mellan matematiken, subjektet och världen är betydligt mer nyanserad och dynamisk.(Liksom i allmänhet är fallet om allting). Detta missförstånd bottnar i en alltför naiv och, tror jag, fullständigt felaktig distinktion mellan subjekt och objekt, en distinktion vilken i och för sig är av största intresse, samt en tendens att resonera kring relationen mellan spårk och tolkning, syntax och modell, på ett förlegat och omedvetet denotationsteoretiskt substrat. Detta substrat är av någon anledning mer påtagligt i samband med matematik än i samband med naturliga språk och ligger som ett brus över förståelsen för matematikens plats i människornas erfarenhet.

Det finns ingen möjlighet att återvända till en denotionsteoretisk syn på naturliga språk sedan aftonstjärnepardoxen (eller var det morgonstjärnan). Detta synsätt visade sig vara alltför förenklat för att kunna hantera mycket enkelt formulerade problem. Efter det har förståelsen för de naturliga språkens relation till sin semantik fördjupats och till och med mer eller mindre raderats i vissa fall. (Tänker på ”Filosofiksa undersökningar”. Ursäkta min alltför grova beskrivning av hur semantik behandlas där.) Semantiken och det naturliga språket är i själva verket mycket löst sammanlänkade; ja semantiken är ju egentligen (återigen ”Filosfiska undersökningar”) i många avseeden helt överflödig, ty språket är ju många gånger snarare ett socialt spel än ett medel för att formulera, kommunicera eller över huvudet taget på något sätt hantera semantisk information. Tänker t.ex. på alla de gånger jag har ertappat mig själv med att ha fört en fullt fungerande dialog utan att någonsin registrera, eller intressera mig för vad den andre sagt. Semantikens roll i och relation till det naturliga språket är, förutom förstås den helt privata aspekten, dess roll som medel för att tillägna oss förmågan att prata med varandra, dvs. följa språkspelets regler. (Sen är det väl i och för sig så att olika människors privata semantiker, den tolkning av språket som varje människa måste upprätta, att dessa sannolikt grovt sett kommer att konvergera och att kommunikation faktiskt är möjlig. Ty med ett kvasimodellteortiskt resonemang: desto större satsmängd som skall tolkas in i en modell, desto mindre klass av möjliga tolkningsfunktioner).

Denna exkurs var avsedd att belysa ett faktum som lätt kan överföras till matematiken, nämligen att matematiken precis som de naturliga språken har en betydelsesida, en semantik, samt en formell, syntaktsik eller praktisk sida och att dessa båda aspekter inte är oupplösligt förenade. Relationen mellan modellen och teorin är inte djupare inom matematiken än inom vanlig mellanmänsklig kommunikation; tolkningen av matematiken in i en modell är någonting som aktivt upprättas, matematiken är ingenting som urvinns ur modellen. Den matemtiska teorin föregår med andra ord sin tolkningsfunktion, det är teorin som tolkas.

Det finns många exempel som belyser detta. Ljus: Om modellens domän är vår erfarenhet (säger inte världen, ty vill inte hemfalla åt subjekt-objekts-beskrivningar) så är det så att matematiken är sann om denna under vissa tolkningar och inte under andra. Ta addition till exempel. En möjlig tolkning av addition över klassen av alla nationer vore unionsbildning. Sverige och Norge bildar union och resultatet av additionen är en nation. Inte två. Detta kolliderar med det förväntade resultatet och man invänder mot min tolkning av addition. Men en sådan invändning grundar sig i att under min tolkning, uppvisar inte addition de strukturer man önskar. Man har med andra ord en färdig teori som skall göras sann under den tolkning som man godkänner; ‘1′ och ‘+’ skall tolkas in i erfarenheten på ett sådant sätt att 1+1=2. Man är alltså inte beredd att revidera sin matematiska teori utifrån empiriska resultat. Om man ändå skulle insistera på matematikens konkreta närvaro i den tänkta världen, skulle man vara tvungen att lägga någon form av restriktion på klassen av tillåtna tolkningar av matematikens syntax för att hantera denna typ av problem, men varje sådan restriktion skulle i slutändan handla om att göra en given teori sann.

Ytterligare något ljus: Den ickeeuklidiska geometrin utvecklades långt innan man lyckades upptäcka någon av dess modeller. Man hade beslutsamt genererat teorem i sökandet efter en motsägelse, men förstås utan resultat. När man till slut avtäckte en modell, var ens insikter i ickeeuklidisk geometri långtgåeende och följdaktigen även kunskaperna om modellen. Vad man hade gjort var att bedriva matematik, geometri långt innan man visste om man utforskade eller beskrev någon som helst modell; man trodde till och med motsatsen, nämligen att den teori man utvecklade principiellt saknade modeller under de villkor som ställs på tolkningar och under den formella logiska sanningsdefinitionen. Här saknades helt enkelt den extraherande aspekten av verksamheten och ändå, i efterhand, visade det sig att vad man från början trodde var en död syntaktisk kropp visade sig vara en rik matematisk teori.

Att denna formalistiska syn på matematiken är träffande visar inte minst den kraft som frigjordes i och med att bl.a. Gödel lyckades slita isär syntax och tolkning; en separtion som fördjupade förståelsen för matematiken på ett oöverskådligt sätt.

Nu är det trots allt så att mycket matematik inte förhåller sig så fritt till en eventuell tolkning som den tidiga ickeeuklidiska geometrin gjorde. De formella, eller syntaktiska strukturer som vi har konstruerat, konstruerat aktivt och inte extraherat passivt, dessa strukturer är ofta inspirerade av en tänkt tolkning, de är inte helt godtyckligt valda. Den tänkta modellen är en inspiration till teorins syntax och dess regler, men detta innebär inte att våra teroier på något sätt är underordnade under eller ett resultat av modellen. Teorierna är skapelser, fristående från sin tolkning, men med avsikten att kunna tolkas in i denna på något sätt. Det är ingen slump att vi så grundligt har studerat den traditionella aritmetiken, även om det ur en formell synvinkel vore fullt lika rimligt att studera en modifierad form av räkning. Aritmetiken konstruerades som en systematisering av mer vaga och fundemantala kararktäristiker av förlopp i erfarenheten; karaktäristiker i termer av mängder etc. (Känner förstås inte till de historiska detaljerna kring aritmetikens födelse, men jag skulle tro att detta var den ursprungliga funktionen).

Matematiken befinner sig alltså någon stans mellan ett aktivt skapande subjekt och en erfarenhet av lagbundenhet som den mer eller mindre framgångsrikt avbildar. Den bildar ett delvis genomskinligt skikt mellan det som är upplevt som utanför och det som är upplevt som innanför. (Att det rör sig om en upplevd distinktion eller åtminstone en betydligt svagare distinktion än den som görs inom klassisk subjekt-objekt-filosofi skall disktueras längre fram). Matematken är ett filter som vi aktivt har lagt över erfarenheten, genom vilket vi som aktiva skapare påverkar den del av erfarenheten som vi inte trodde att vi inte var i stånd att nå; den del som fortfarande ibland felaktigt kallas objekten.

En konsekvens av denna insikt är att den matematik som vi finner i det upplevda utanför, till viss del endast utgör en reflexion av det aktiva subjekt som placerat den där. Det påminner om när man tittar genom ett fönster, ut ur ett ljust rum över en mörk värld; man ser ut men man ser världen genom sin egen spegelbild. I termer av en subjekt-objekts-distinktion innebär detta att det aktiva subjektet befinner sig ute bland objeken och att gränserna inom detta par delvis upphävs; distinktionen är porös, ett cellmembran. Subjektet verkar alltså bidra till skapandet av de objekt som sedan i sin tur percipieras, varvid subjektet utgör en fundamental del av den sfär av objekt i vilken det är utplacerat. Den förment hermetiska barriär som skiljer det som vi upplever som innanför oss själva och det som vi upplever som utanför är alltså fiktiv, en idé, en fantasm; det som är innanför, där aktivitet är möjlig kan alltså utvidgas, sträcka utlöpare in i det som är utanför och närvara i den del av erfarenheten i vilken passiviteten troddes vara obetvinglig. Distinktionen och hierarkin mellan subjekt-objekt är med andra ord en fattig och felaktig beskrivning av den männskliga erfarenheten och existensen och bör ersättas med en mindre statisk relation mellan olika skikt av erfarenheten. Se kommande texter.