Följande är en summarisk redogörelse för min uppfattning om matematikens relation till subjektet och den förmenta omvärlden.
Det tycks mig finnas en utbredd föreställning om att matematiken står i någon slags djup, men gåtfull förbindelse med omvärlden. Vad man avser med matematiken och kanske i ännu större utsträckning vad man avser med omvärlden låter man vara osagt, men man hävdar bestämt att de är intimt relaterade till varandra; omvärlden tänker man sig nog oftast som någon variant av den naiva materialismens sfär av objekt i vilken vi, som varseblivande subjekt är utplacerad och vilken vi kan observera mer eller mindre direkt och utan vidare problem. Matematiken tänker man sig som något huvudsakligen semantiskt, som en aspekt av de mönster och drag som vi möter vid vår kontakt med den objektiva världen. Matematiken förstås som en uppsättning insikter, som en uppsättning obevkliga lagar, som djupa sannigar om en klass av abstrakta entiteter eller relationer som finns närvarnade ute bland objekten och vilka vi genom matematiken lyckas förstå.
De personer som tror på denna djupa, naturliga, eller faktiska relation mellan matematik och en objketiv omvärld tänker sig oftast att vi har extraherat vår kunskap om matematiken ur vår erfarenhet av objektens beteende, att matematiken finns därute och att vi genom att iaktta objektens uppförande kommer till insikt om de matematiska objektens natur. Vår konception om sådana saker som area, triangel, 3, + etc. etc. är inom detta tankesätt abstraktioner ur vår erfarenhet. Alla räknelagar, all aritmetik är bara naturliga generaliseringar av de specialfall som vi har mött i vår erfarenhet, eller ännu värre, obestridliga insikter om generella samband vilka vi har nått genom någon form av epistemologiskt osviklig meditation över vår ändliga erfarenhet varvid vi kommer i kontakt med hur det förhåller sig i det abstrakta eller generella fallet.
Allt detta är bara missförstånd. Relationen mellan matematiken, subjektet och världen är betydligt mer nyanserad och dynamisk.(Liksom i allmänhet är fallet om allting). Detta missförstånd bottnar i en alltför naiv och, tror jag, fullständigt felaktig distinktion mellan subjekt och objekt, en distinktion vilken i och för sig är av största intresse, samt en tendens att resonera kring relationen mellan spårk och tolkning, syntax och modell, på ett förlegat och omedvetet denotationsteoretiskt substrat. Detta substrat är av någon anledning mer påtagligt i samband med matematik än i samband med naturliga språk och ligger som ett brus över förståelsen för matematikens plats i människornas erfarenhet.
Det finns ingen möjlighet att återvända till en denotionsteoretisk syn på naturliga språk sedan aftonstjärnepardoxen (eller var det morgonstjärnan). Detta synsätt visade sig vara alltför förenklat för att kunna hantera mycket enkelt formulerade problem. Efter det har förståelsen för de naturliga språkens relation till sin semantik fördjupats och till och med mer eller mindre raderats i vissa fall. (Tänker på ”Filosofiksa undersökningar”. Ursäkta min alltför grova beskrivning av hur semantik behandlas där.) Semantiken och det naturliga språket är i själva verket mycket löst sammanlänkade; ja semantiken är ju egentligen (återigen ”Filosfiska undersökningar”) i många avseeden helt överflödig, ty språket är ju många gånger snarare ett socialt spel än ett medel för att formulera, kommunicera eller över huvudet taget på något sätt hantera semantisk information. Tänker t.ex. på alla de gånger jag har ertappat mig själv med att ha fört en fullt fungerande dialog utan att någonsin registrera, eller intressera mig för vad den andre sagt. Semantikens roll i och relation till det naturliga språket är, förutom förstås den helt privata aspekten, dess roll som medel för att tillägna oss förmågan att prata med varandra, dvs. följa språkspelets regler. (Sen är det väl i och för sig så att olika människors privata semantiker, den tolkning av språket som varje människa måste upprätta, att dessa sannolikt grovt sett kommer att konvergera och att kommunikation faktiskt är möjlig. Ty med ett kvasimodellteortiskt resonemang: desto större satsmängd som skall tolkas in i en modell, desto mindre klass av möjliga tolkningsfunktioner).
Denna exkurs var avsedd att belysa ett faktum som lätt kan överföras till matematiken, nämligen att matematiken precis som de naturliga språken har en betydelsesida, en semantik, samt en formell, syntaktsik eller praktisk sida och att dessa båda aspekter inte är oupplösligt förenade. Relationen mellan modellen och teorin är inte djupare inom matematiken än inom vanlig mellanmänsklig kommunikation; tolkningen av matematiken in i en modell är någonting som aktivt upprättas, matematiken är ingenting som urvinns ur modellen. Den matemtiska teorin föregår med andra ord sin tolkningsfunktion, det är teorin som tolkas.
Det finns många exempel som belyser detta. Ljus: Om modellens domän är vår erfarenhet (säger inte världen, ty vill inte hemfalla åt subjekt-objekts-beskrivningar) så är det så att matematiken är sann om denna under vissa tolkningar och inte under andra. Ta addition till exempel. En möjlig tolkning av addition över klassen av alla nationer vore unionsbildning. Sverige och Norge bildar union och resultatet av additionen är en nation. Inte två. Detta kolliderar med det förväntade resultatet och man invänder mot min tolkning av addition. Men en sådan invändning grundar sig i att under min tolkning, uppvisar inte addition de strukturer man önskar. Man har med andra ord en färdig teori som skall göras sann under den tolkning som man godkänner; ’1′ och ”+” skall tolkas in i erfarenheten på ett sådant sätt att 1+1=2. Man är alltså inte beredd att revidera sin matematiska teori utifrån empiriska resultat. Om man ändå skulle insistera på matematikens konkreta närvaro i den tänkta världen, skulle man vara tvungen att lägga någon form av restriktion på klassen av tillåtna tolkningar av matematikens syntax för att hantera denna typ av problem, men varje sådan restriktion skulle i slutändan handla om att göra en given teori sann.
Ytterligare något ljus: Den ickeeuklidiska geometrin utvecklades långt innan man lyckades upptäcka någon av dess modeller. Man hade beslutsamt genererat teorem i sökandet efter en motsägelse, men förstås utan resultat. När man till slut avtäckte en modell, var ens insikter i ickeeuklidisk geometri långtgåeende och följdaktigen även kunskaperna om modellen. Vad man hade gjort var att bedriva matematik, geometri långt innan man visste om man utforskade eller beskrev någon som helst modell; man trodde till och med motsatsen, nämligen att den teori man utvecklade principiellt saknade modeller under de villkor som ställs på tolkningar och under den formella logiska sanningsdefinitionen. Här saknades helt enkelt den extraherande aspekten av verksamheten och ändå, i efterhand, visade det sig att vad man från början trodde var en död syntaktisk kropp visade sig vara en rik matematisk teori.
Att denna formalistiska syn på matematiken är träffande visar inte minst den kraft som frigjordes i och med att bl.a. Gödel lyckades slita isär syntax och tolkning; en separtion som fördjupade förståelsen för matematiken på ett oöverskådligt sätt.
Nu är det trots allt så att mycket matematik inte förhåller sig så fritt till en eventuell tolkning som den tidiga ickeeuklidiska geometrin gjorde. De formella, eller syntaktiska strukturer som vi har konstruerat, konstruerat aktivt och inte extraherat passivt, dessa strukturer är ofta inspirerade av en tänkt tolkning, de är inte helt godtyckligt valda. Den tänkta modellen är en inspiration till teorins syntax och dess regler, men detta innebär inte att våra teroier på något sätt är underordnade under eller ett resultat av modellen. Teorierna är skapelser, fristående från sin tolkning, men med avsikten att kunna tolkas in i denna på något sätt. Det är ingen slump att vi så grundligt har studerat den traditionella aritmetiken, även om det ur en formell synvinkel vore fullt lika rimligt att studera en modifierad form av räkning. Aritmetiken konstruerades som en systematisering av mer vaga och fundemantala kararktäristiker av förlopp i erfarenheten; karaktäristiker i termer av mängder etc. (Känner förstås inte till de historiska detaljerna kring aritmetikens födelse, men jag skulle tro att detta var den ursprungliga funktionen).
Matematiken befinner sig alltså någon stans mellan ett aktivt skapande subjekt och en erfarenhet av lagbundenhet som den mer eller mindre framgångsrikt avbildar. Den bildar ett delvis genomskinligt skikt mellan det som är upplevt som utanför och det som är upplevt som innanför. (Att det rör sig om en upplevd distinktion eller åtminstone en betydligt svagare distinktion än den som görs inom klassisk subjekt-objekt-filosofi skall disktueras längre fram). Matematken är ett filter som vi aktivt har lagt över erfarenheten, genom vilket vi som aktiva skapare påverkar den del av erfarenheten som vi inte trodde att vi inte var i stånd att nå; den del som fortfarande ibland felaktigt kallas objekten.
En konsekvens av denna insikt är att den matematik som vi finner i det upplevda utanför, till viss del endast utgör en reflexion av det aktiva subjekt som placerat den där. Det påminner om när man tittar genom ett fönster, ut ur ett ljust rum över en mörk värld; man ser ut men man ser världen genom sin egen spegelbild. I termer av en subjekt-objekts-distinktion innebär detta att det aktiva subjektet befinner sig ute bland objeken och att gränserna inom detta par delvis upphävs; distinktionen är porös, ett cellmembran. Subjektet verkar alltså bidra till skapandet av de objekt som sedan i sin tur percipieras, varvid subjektet utgör en fundamental del av den sfär av objekt i vilken det är utplacerat. Den förment hermetiska barriär som skiljer det som vi upplever som innanför oss själva och det som vi upplever som utanför är alltså fiktiv, en idé, en fantasm; det som är innanför, där aktivitet är möjlig kan alltså utvidgas, sträcka utlöpare in i det som är utanför och närvara i den del av erfarenheten i vilken passiviteten troddes vara obetvinglig. Distinktionen och hierarkin mellan subjekt-objekt är med andra ord en fattig och felaktig beskrivning av den männskliga erfarenheten och existensen och bör ersättas med en mindre statisk relation mellan olika skikt av erfarenheten. Se kommande texter.
